根据提供的信息，以下是国内支持借卵做试管婴儿的医院名单及相关信息：
一、公立医院
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北京协和医院
- 位于北京市东城区帅府园一号，是中国乃至亚洲最大的综合性医疗中心之一，拥有先进的生殖医学技术和设备，供卵试管婴儿成功率高达65%以上。
- 该医院提供一站式辅助生殖服务，包括供卵试管婴儿，并且在试管婴儿领域具有丰富的经验。
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上海交通大学附属第九人民医院
- 位于上海市制造局路639号，是上海地区最早开展辅助生殖技术的医院之一，设有生殖与遗传科，配有非常完善的医疗设备与技术支持，并且与国际机构紧密合作。
- 该医院可以开展全方位的辅助生殖医疗服务，包括试管婴儿、供卵助孕等。
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上海市第一妇婴保健院
- 位于上海市浦东新区高科西路2699号，是上海地区最早开展辅助生殖技术的医院之一，提供供卵试管婴儿服务。
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中国医学科学院北京协和医院
- 与北京协和医院为同一机构，提供供卵试管婴儿服务。
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湖南省妇幼保健院
- 位于长沙市湘春路53号，提供供卵试管婴儿服务。
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贵阳市妇幼保健院
- 位于贵阳市南明区瑞金南路63号，提供供卵试管婴儿服务。
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中国福利会国际和平妇幼保健院
- 位于上海衡山路910号，提供供卵试管婴儿服务。
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武警特色医学中心
- 位于天津市东丽区成林道220号，提供供卵试管婴儿服务。
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海军军医大学第一附属医院
- 位于上海市杨浦区长海路168号，提供供卵试管婴儿服务。
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江苏省人民医院
- 位于南京市广州路300号，提供供卵试管婴儿服务。
二、私立医院
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中信湘雅生殖与遗传医院
- 位于湖南省长沙，是全球每年IVF-ET及衍生技术周期数最多的IVF实验室之一，累计超过42万个周期，辅助妊娠出生的健康婴儿累计超过18万，试管婴儿平均妊娠率达到62.3%。
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上海济爱医院
- 作为上海首家辅助生殖技术中心，拥有先进设备和经验丰富的医疗团队，支持多种辅助生殖技术。
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北京家恩德运医院
- 位于北京市海淀区知春路29号11栋，是北京的民办试管医院之一，但供卵试管需在公立医院预约排队。
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深圳恒生医院
- 位于广东省深圳市宝安区西乡银田路20号，提供供卵试管婴儿服务。
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东莞康华医院
- 位于广东省东莞市东莞大道1000号，提供供卵试管婴儿服务。
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新疆佳音医院
- 位于新疆乌鲁木齐水磨沟区苏州路东延段，提供供卵试管婴儿服务。
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成都西囡医院
- 位于成都市锦江区毕昇路66号、88号1栋，提供供卵试管婴儿服务。
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天津中心妇产医院
- 位于天津市，是天津市较早开展辅助生殖技术的医院机构，医院共拥有先进的诊疗设备和雄厚的综合实力，还有一批优秀的生殖医生。
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上海仁济医院
- 位于上海市，是一家生殖医学中心，并于2004年获得准入资格，能够开展第一代、第二代、第三代试管婴儿技术，还能做供卵试管婴儿技术。
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北京大学第三医院
- 位于北京市，是中国大陆第一例试管婴儿的诞生地，试管婴儿技术相对成熟，成功率也处于国内领先水平，能达到60%左右。
三、其他推荐医院
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武汉同济医院
- 位于湖北省武汉市，是2023年国内借卵试管婴儿技术排名前十的医院之一。
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南京鼓楼医院
- 位于江苏省南京市，是2023年国内借卵试管婴儿技术排名前十的医院之一。
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郑州大学第一附属医院
- 位于河南省郑州市，是2023年国内借卵试管婴儿技术排名前十的医院之一。
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四川大学华西第二医院
- 位于四川省成都市，是2023年国内借卵试管婴儿技术排名前十的医院之一。
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浙江大学医学院附属妇产科医院
- 位于浙江省杭州市，是2023年国内借卵试管婴儿技术排名前十的医院之一。
四、选择医院的注意事项
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卵源充足：由于卵源稀缺，患者可能需要等待3-5年才能获得卵子进行试管婴儿。对于卵巢早衰或高龄绝经的患者，这可能是一个挑战。
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成功率高：医院的技术实力通常反映在助孕成功率上。然而，一些医院可能为了吸引患者而夸大成功率，因此患者需谨慎选择，优先考虑正规权威的医院。
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知名专家：缺乏知名生殖医生的医院可能无法提供专业的医疗服务，建议患者选择有经验的医生，以确保助孕过程顺利。
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费用：上海借卵试管的费用大约在9-11万元人民币，具体费用还需要根据医院、个人情况而有所差异。
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法律和伦理：供卵行为需符合国家卫生组织规定，禁止商业化供卵，并需签署知情同意书。
五、总结
国内支持借卵做试管婴儿的医院众多，包括北京协和医院、上海交通大学附属第九人民医院、中信湘雅医院、北京大学第三医院等公立医院，以及上海济爱医院、深圳恒生医院、东莞康华医院等私立医院。在选择医院时，建议综合考虑医院的卵源、成功率、专家团队和费用等因素，选择正规、权威的医院进行治疗。